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设是定义在的某开集上的全体-函数所构成的环.再设中的坐标是,系数属于上的-函数环K,以为基底的模为,然后作上的模,其中,,.()中的元素可以表示成,它们称为上的次外形式.特别地,中的元素的具体表达式是
,它们称为上的1次形式,又称为上的普拉夫形式.
现在我们在外形式模中引进一种微分运算,称为外微分.引进外微分以后,模的元素称为上的外微分形式,中的元素称为次外微分形式.
定义外微分是一映射,它的定义如下:设,
,
我们规定
=,
显然,从此定义可以直接看出:如果,则外微分就是普通微分;如果,因为.
我们再把以上外微分运算扩充到整个上.
定义:设,并且,,规定.
1.2外微分的性质性质1设为-形式,为-形式,则
证明根据外微分的定义,只须考虑和是单项式的情形,设
,,则
性质2对任意,有(3)
证明由于的线性性,只要证明
这种情形即可.这时,
由于具有二阶连续偏导数,因此.所以
.
因此再由性质1可得
.
1.3各阶外微分式的外微分运算设都是三维空间的函数,则分别称(4)~(7)式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式
(4)
(5)
(6)
(7)
在三维空间中,对于系数是可微函数的各阶外微分式(4)~(7),定义其外微分:
注1对基本外微分式的外微分,规定
在这个规定下,外微分算子的作用类似与普通微分算子,即对每一项进行运算,在每一项中又分别对每个因子进行运算,其余因子不动.所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算,而普通微分算子在运算后进行普通乘积.例如
注2零阶外微分式的外微分就是普通的微分.
性质:阶外微分式的外微分是阶外微分式,三阶外微分式的外微分等于0,且它们与场论中的三度(梯度,旋度,散度)有如下联系:
(1)
(2)
(3)
证
(1)显然成立.
(2)
(3)
2外微分在高等数学中的应用2.1重积分的坐标变换
二重积分计算中坐标变换:设为由到的一对一的可微映像,则
这里称为变换的Jacobi行列式.
在二重积分中,,表示面积,从而
.
类似地,对三重积分中,作变换时,有
,
其中.
2.2第二类曲面积分的归一化计算方法在第二类曲面积分计算中,若的方程为,则
从而.
这样,只要将向平面投影来计算这个曲面积分了.
2.3全微分条件(1)的条件为.
即有,,.
事实上,=
从而得到了要求的结论.
(2)的条件为
由,得出条件为
2.4积分定理设是中意维区域(),是的边缘,具有诱导的定向,是上的()-形式,则下列公式成立
这个公式通常称为斯托克斯(stokes)公式
(1)时,,其中是在上的一个原函数.
若记,则,则牛顿-莱布尼兹公式可写为
(2)时,设,是平面上一区域,是它的边缘闭曲线,再设是1-形式
.
这时斯托克斯公式为
,
这就是我们所熟悉的平面上的格林(Green)公式.
(3)时,设,是平面中的曲面域,是它的边缘(空间)闭曲线,再设是1-形式
.
这时,斯托克斯公式为
这就是我们在微积分教程中所见到的斯托克斯公式.
(4)如果,则是平面中一区域,是它的边缘闭曲线,是2-形式
.
这时,斯托克斯公式为
这就是微积分教程中的高斯公式.
3庞加莱(Poincare)引理及其逆
1899年,Poincare给出了著名的Poincare引理及其逆.后经他们及古萨(E.J.B.Goursat,1858-1936)等人的发扬广大,尤其将它应用于微分几何,微分方程等学科上获得了很大的成功,成为近代数学的重要篇章.
性质3(庞加莱(Poincare)引理)设是三维空间中任意外微分式,其系数有二阶连续偏导数,则
证因为,
(1)是零阶外微分式
(2)是一阶外微分式
(3)是二阶外微分式,则是三阶外微分式,从而.
(4)是三阶外微分式,则,故.
性质4(庞加莱引理之逆)设是三维空间中的阶外微分式,其系数有一阶连续偏导数,且,则存在一个阶外微分式,使得.
证
(1)设是一阶外微分式
故
因为是无旋场
是梯度场
存在零阶外微分式,使得
于是
(2)设是二阶外微分式,且
故
因为是无源场是管量场
存在矢量,使得
记,则是一阶外微分式,且
.
(3)设是三阶外微分式,且
令,则.
从证明过程可见,庞加莱引理中,当是零阶外微分式时,等价于场论中的;而当是一阶外微分式时,等价于场论中的.
5梯度,散度与旋度5.1微积分中的外微分5.1.1梯度对于一个0-形式,也就是一个光滑函数:,我们有
所以,对于向量场,,其中代表的梯度.
5.1.2散度设是一个封闭曲面的外侧.流体的速度场通量
表示单位时间内流体经流出的流量.如果,表示内部有产生流体的能力,即内有流体“源”.如果,说明流体从内流失,即内有流体“汇”或“漏”.
在给内一点,在内取一个包含在内的体积.表示的外侧表面.则比值表示附近单位体积在单位时间内产生的流量.当收缩到时,如果比值有极限,那么这个极限就可看成时点产生流体的能力,称为的源密度.
如果是一般的向量场,上述极限称为在的散度,记为v.如果向量场的散度处处为零,就称它是一个无源场.
5.1.3旋度向量叫向量场的旋度,记成v.为便于记忆,可以记.如果向量场的旋度处处为零,则称它是一个无旋场.
5.2梯度,散度,旋度在一般正交曲线坐标系中的表达式根据需要,分别记中的零次形、一次形、二次形为
式中()与f是,,的标量函数.
由前面的定义可求得它们的外微分为
(8)
(9)
(10)
设空间点的直角坐标为、、;正交曲线坐标为、、,坐标变换公式是
,,,沿坐标面常数的法线
方向的弧元为
Lame系数()(11)
定理5在正交曲线坐标系中
证明:已知在直角坐标系中,标量函数的梯度为
grad
将,()代入(8)得
(12)
又有(13)
由(12)、(13)得
(i=1,2,3)(14)
即
定理6在正交曲线坐标系中,矢量函数的旋度
式中
证明已知在直角坐标系中,矢量函数的旋度分量是
,
,
将上式及代入(9)得
(15)
又有
外微分得
(16)
由(15)、(16)得
定理7在正交曲线坐标系中,矢量函数的散度
证明已知在直角坐标系中
将上式及代人(10)得
(17)
又有外微分得
(18)
由(17)、(18)得
(19)
6外微分在热力学中的应用在流体力学中,特别是气体热力学,借助统计学可以对气体的状态进行描述,理想气体的状态参数通常有5个,但只有2个是相互独立的,故气体热力学系统相当于一个二维流形.
设、、、和分别为系统的内能、温度、熵、压强和体积,则热力学第二定理可以表示为:(20)
对热力学系统而言,它相当于一个二维流形,故可采用外微分来描述,由外微分的性质,知其中,代入式(20)可得:(21)
外积与外微分应用在可微流形上,允许进行坐标变换,分别取坐标系、、和,则很容易构造出系统的自由能、吉布斯函数、焓和内能.
(1)取流形系统的坐标系为,令,,
(22)
由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的自由能.
(2)取流形系统的坐标系为,令
,,
(23)
由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为系统的吉布斯函数.
(3)取流形系统的坐标系为,令
,,
(24)
由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的焓.
(4)取流形系统的坐标系为,令,,
(25)
由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的内能.
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